#6761 【数学】ケリー基準＠日記 (2023/03/19)
昔ケリー基準について書いてある良いサイトがあったと思うが、なくなってる気が・・・。
ということで、私が代わりに書いておこうw
ケリー基準とかケリー公式、ケリーの公式とかってヤツ。
ケリー基準(2) | 三度の飯とエレクトロン
https://blog.katty.in/403
Kelly criterion - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
ジョン・ラリー・ケリー・ジュニア - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83...
はじめに次のようなゲームについてちょっと考えて欲しい。
---
60個の赤い玉と、40個の白い玉があり、これを箱に入れる。
箱から玉をひとつ取り出しては、また箱に戻す。
この試行を繰り返す。
今、資金として100円渡される。
1回にいくら賭けてもよい。毎試行で異なる金額を賭けてよい。
試行は最大100回までとする。
赤い玉が出れば、倍になって返ってくる。
白い玉が出れば、賭け金は没収される。
このときどういう戦略をとれば資金を最大にすることができるか。
（例、たとえば、1回目は3円賭ける。2回目は5円賭けるなど。
また、たとえば3円賭けるとすると、
赤い玉が出れば、資金は結果として3円増える。
白い玉が出れば、資金は結果として3円減る。）
---
この問題を大学生にさせると、ほとんどの学生が、資金を100円以上にすることができない。
赤玉が出る確率（勝つ確率）が 0.6 なのに。
普通に1回1円ずつ賭ければ、期待値は1.2(=2*0.6+0*0.4)なのだから、120円になるはず。
それにもかかわらずである。
そしてこの問題には数学的な答えがある。利益を最大にする方法がある。
とりあえず、この問題を数学的に記述する。
資金のx倍(0
S = (1+Rx)^W(n) * (1-x)^L(n)
※ W(n)はn回中勝った回数、L(n)はn回中負けた回数、W(n)+L(n)=n、W(n)/n = P, L(n)/n = 1- P
ここで、両辺を 1/n 乗する
S^(1/n) = (1+Rx)^(W(n)/n) * (1-x)^(L(n)/n)
↓
S^(1/n) = (1+Rx)^P * (1-x)^(1-P)
これを g(x) = S^(1/n) とし、g(x)'を計算する。
g(x) = (1+Rx)^P * (1-x)^(1-P)
g(x)' = {(1+Rx)^P}' * (1-x)^(1-P) + (1+Rx)^P * {(1-x)^(1-P)}'
↓
g(x)' = P*R*(1+Rx)^(P-1) * (1-x)^(1-P) + (1+Rx)^P * (1-P)*(-1)*(1-x)^(-P)
↓
g(x)' = P*R*(1+Rx)^(P-1) * (1-x)^(1-P) + (1+Rx)^P * (1-P)*(-1)*(1-x)^(-P)
↓
g(x)' = {(1+Rx)^(P-1)*(1-x)^(-P) } * {P*R*(1-x) + (1+Rx) * (1-P)*(-1)}
↓
g(x)' = {(1+Rx)^(P-1)*(1-x)^(-P) } * {PR-PRx + P -1 +PRx -Rx }
↓
g(x)' = {(1+Rx)^(P-1)*(1-x)^(-P) } * {PR + P -1 -Rx }
となる。
0
したがって、R≠0として、
x = (P(R+1)-1)/R
の時、g(x)は最大になる。つまり、S は最大となる。
上の問題の場合、R=1で、P=0.6だから、x = 0.2 となり、つまり、資金の20%を毎回賭けることによって、利益を最大にすることができる。
この
x = (P(R+1)-1)/R
の式をケリーの公式という。
・・・・というか、アーカイブであったわ(^_^)
ケリーの公式（１）
https://web.archive.org/web/20060715000439/ht...
↑このサイト最高ですよw
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