[#4220] 【数学】期待値がプラスでも期待値が無限でも損をする＠日記

#4220 【数学】期待値がプラスでも期待値が無限でも損をする＠日記 (2016/03/20)

というお話を2つ。

ひとつ目。
サンクトペテルブルクの逆説。
サンクトペテルブルクのパラドックス - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83...

これは、コイン投げを複数回試行するゲームで、
初めて表が出た回数目をnとすると、2^(n-1)円もらえるというもの。

期待値的には、
もし1回目に表が出れば、確率は1/2で、1円もらえる。ので、1/2。
もし2回目に表が出れば、確率は1/4で、2円もらえる。ので、1/2。
で、1/2を永遠に足し続けるので、期待値は無限になる。

なので、じゃあ、このゲームの権利をいくらで買うと得で、いくらで買うと損か。
というのを数学的にいうと、いくら払ってでも参加した方がいいということになる。

しかし実際はそうではない。
「
ビュフォンは子供にコインを繰り返し投げさせる実験を行った[5]。2084回のゲームを行い、そのうち1061回で1円、494回で2円、…、合計で10057円を獲得した。この実験において、1回のゲームでの獲得金額の平均は約5円ということになる。
」
らしい。

不思議だな〜。

2つ目。
損益の非対称性(asymmetrical leverage)について。
資金を20％増やしても、その後、資金を20％減らすと、結果としては資金が減っていることを意味する。
(1+0.2) * (1-0.2) = 1.2 * 0.8 = 0.96
これが期待値がプラスのゲームをやっても負けてしまう原因のひとつである。

例えば、コインゲームで、賭け金に対して、
表が出たら1.6倍もらえる(+60％)、
裏が出たら0.6倍になる(-40％)になるゲームがあったとする。
期待値は、1.6/2+0.6/2=1.1なので、毎回1ドルずつ賭けていれば必ず儲かるのである。

ところが、持っている資金の全額を毎回賭け続けると、
1.6 * 0.6 = 0.96 となるので、結果として、資金はなくなる。

不思議だ〜。

4/4のブン

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追記(2016/11/19-08:19)

シンプソンのパラドックス - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83...

母集団での相関と、母集団を分割した集団での相関は、異なっている場合がある。つまり集団を2つに分けた場合にある仮説が成立しても、集団全体では正反対の仮説が成立することがある。

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追記(2020/06/28-10:12)

期待値が無限大な賭け(サンクトペテルブルクのパラドックス) - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=B__gzT-rQjw

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